集合

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データ構造については集合 (プログラミング)を、生物の集団については群れを、人間の場合については集団をご覧ください。

数学における集合（しゅうごう、set, ensemble, Menge）とは、いくつか（有限または無限）の「もの」からなる「集まり」である。集合に含まれる「もの」のことを元（げん、element; 要素）という。

集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。

慣例的に、ある種の集合が系（けい、system）や族（ぞく、family）などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。例えば、方程式系（"相互に連立する" 方程式の集合）、集合族（"一定の規則に基づく" 集合の集合）、加法族（"加法的な性質を持つ" 集合族）など。

導入

詳細は素朴集合論を参照

集合は「もの」の「集まり」である。集合の元（要素）として集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも（もちろん集合でも）構わない。

一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んで良いわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。

属すること・部分であること

詳細は部分集合を参照

集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。対象 a が考えている集合 A の元になっているとき、「a は集合 A に属す」「集合 A は a を元として含む」などと言い、a ∈ A と表す。

2 つの集合 A, B について、A に属する元がすべて B にも属するとき、すなわち a ∈ A ⇒ a ∈ B が a の取り方に依らずに成り立つとき、「A は B の部分集合である」「A は B に集合として含まれる」「B は A を包含する」などといい、A ⊂ B または A ⊆ B と記す。

1 つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または $\emptyset$ と表す。全ての集合は空集合を部分集合として含む。

2 つの集合が同じ元を全て含み、なおかつ異なる元を含まないとき、2 つの集合が等しいという。集合 A と B が等しいことを A = B と表す。

部分集合の関係を用いて、次のことが成り立つ：

A = B ⇔ A ⊆ B かつ A ⊇ B.

集合の記述法

具体的な集合を取り扱うためには、集合を具体的に記述する方法が必要である。たとえば集合に属する元をすべて列挙することが 1 つの方法である。たとえば 10 未満の自然数におけるのなかで奇数であるもの全体の集合は

{1,3,5,7,9}

と記すことができる。「集合に属する元をすべて列挙すること」で集合を記述する方法を集合の外延的記法と言う。集合は、順番を入れ替えたり、同じものを付け加えても、もとのものと等しい：

{1,2,5,7,10} = {5,1,7,2,1,5,10,2}.

また、集合に属する元が満たすべき条件を明示することも集合を記述する方法である。

N は全ての自然数からなる集合である。

N の元は自然数であって、自然数はすべて N に属す。

「ある集合に属するために元が満たさなければならない条件を明示すること」で集合を記述する方法を内包的記法と言う。対象 x がある集合に属する条件が P(x) であるということを {x | P(x)} という記号で表す。つまり

S = {x | P (x)}

と記せば、S は P(x) を満たすようなすべての元 x から構成される集合であるという意味である。なお、"|" のかわりに ":" が用いられることもある。

S = {x : P (x)}.

A = {0,1,2,3,4,5},

B = {n | n ∈ N, n ≤ 5 } （自然数に 0 を含む）

を例にとると、A は外延的、B は内包的に記述されてはいるが、A = B である。

すべての奇数からなる集合（自然数に 0 を含む場合）：

$C = \{ x \mid x=2n+1 \mbox{ for some } n \in \mathbb{N}\}.$

これはしばしば、外延的に

C = {1, 3, 5, 7, ...}

のようにも書かれるが、"..." の部分が何を言っているのかが明らかな場合以外は混乱を生じる恐れがあり、注意して使わなくてはならない。

濃度

詳細は濃度 (数学)を参照

有限個の元からなる集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、finite set）と呼び、集合 A の元の個数を #(A), |A|, card(A) などの記号で表すことが多い。有限集合でない集合を無限集合（むげんしゅうごう、infinite set）という。無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、濃度（のうど、Potency、または基数、Cardinal number, Cardinality）というものを考える。個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け（indexing; 添字付け）して、一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。

無限集合はどれも「無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。たとえば、自然数と有理数や、数直線と平面が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。一方で平面 R² と数直線 R は同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元が濃度では測れない異なる尺度であることを表しているのである。

集合の演算

詳細は集合代数、和集合、積集合、差集合、商集合、直積集合をそれぞれ参照

いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。

結び: 二つの集合を「くっつけ」て一緒にしてしまうことで新しい集合を取り出すことができる。
交わり: 二つの集合の共通した部分を見つけることで、新しい集合を取り出すことができる。

集合

目次

導入

属すること・部分であること

集合の記述法

濃度

集合の演算

関連項目