浮動小数点数

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浮動小数点数（ふどうしょうすうてんすう）は、コンピュータにおける実数の近似値の表現方式。

固定小数点数と比較するとさまざまな誤差が発生しやすいが、大きな値や、逆に小さな値を表現するのに向いている。そのため、誤差の概念がはっきりしている分野や極端な数を扱う分野（科学計算など）で多く用いられている。また、プログラミング言語のほとんどが対応しているということもあり、小数の表現方法としては最も普及している。

固定小数点数の演算と比べると演算速度が遅いため、FPU（浮動小数点数プロセッサ）と呼ばれる、浮動小数点数の演算を高速化するための専用の装置が別途搭載（現在はCPUに内蔵）されている場合が多い。

1 浮動小数点数の構造
2 浮動小数点数の表現方法
- 2.1 IEEE方式（IEEE 754 形式）
  - 2.1.1 IEEE 754 で表現するまでの過程
- 2.2 IBM方式（エクセス64 形式）
  - 2.2.1 エクセス64で表現するまでの過程
3 浮動小数点数の精度
4 関連項目
5 外部リンク

浮動小数点数の構造

値の表現方法は、たとえば国際単位系（SI）で、キロは10³、センチは10^-2と表現するのに似ている。ただし、浮動小数点数では次の3つのデータで数値を表現する。

符号部（1ビット）
仮数部（符号なし整数）
指数部（符号付き整数）

浮動小数点数では、数値の絶対値は（仮数部）×（基数）^{（指数部）}となる。たとえば、0.5を、基数が10の浮動小数点数で表すと0.05×10¹（0.05e+1）、基数が2だった場合は0.25×2¹となる。

仮数部に割り当てられたビット数をnとすると、2進数での有効桁数はn+1となる。これは、最上位の桁は必ず1になり、表現する必要がないためである。なお、0を表す場合は符号部、仮数部、指数部のすべてのビットを0にする。

浮動小数点数の表現方法

浮動小数点数の表現方法はいくつかの種類がある。

IEEE方式（IEEE 754。最も広く採用されている標準規格。）
IBM方式（エクセス64。IBMのメインフレームで使われている仮数部を16進数で表現するもの）

それぞれ32ビット表現（単精度）と64ビット表現（倍精度）とがある。

IEEE方式（IEEE 754 形式）

IEEE 754 形式の単精度実数では、符号部1ビット・指数部8ビット・仮数部23ビット、倍精度では符号部1ビット・指数部11ビット・仮数部52ビットで表現されている。各部は次のように定義されている。

符号部は0を正、1を負とする
指数部は2を基数とし、単精度では127、倍精度では1023をバイアスした値で表す
仮数部は1以下の2進小数とする。ただし、仮数部＝仮数 - 1とする

つまり、IEEE 754 形式で表現する値は

(-1)^符号部×2^{指数部-127}×（1+仮数部） -- 単精度の場合

(-1)^符号部×2^{指数部-1023}×（1+仮数部） -- 倍精度の場合

である。

ただし、IEEE 754 形式の指数部は複雑で、以下のような役割も持つ。

指数部が255、仮数部が0以外の時は非数（NaN; Not a Number）を表す
指数部が255、仮数部が0のとき、符号部が0のときは正の無限大、符号部が1のときは負の無限大
指数部、仮数部ともに0のときは0

※0を0で割ろうとするとNaNになる。また、 $\sqrt{-1}$ も、求めるとNaNになる。

IEEE 754 で表現するまでの過程

2.5を単精度 IEEE 754 で表現するには、次のようになる。

2.5×2⁰

仮数部は1以下でなければならないため、値をシフトし正規化する。基数は2、コンピュータの内部表現は2進数であるため、シフト量は1ビットである。さらに、シフトして ${1 \over 2}$ になったことを相殺するために2の1乗を求める。値をシフトすることで表現範囲を広げ、丸め誤差を少なくなるようにしている。この操作を正規化という。正規化は基数の1乗を求めればよい。

このままでは 1.25×2¹ となり1未満ではないが、仮数部は仮数 - 1 と決められているため、次のようになる。

0.25×2¹

指数部は127をバイアスすることが決まっているため

0.25×2¹²⁸

実際には2進数で表現されているので、2進数に直す。

符号部（1ビット）：+→0
仮数部（23ビット）：0.25→01000000000000000000000
指数部（8ビット）：128→10000000

浮動小数点は符号部指数部仮数部の順で並べるため

2進値：0 10000000 01000000000000000000000、16進値：40200000

IBM方式（エクセス64 形式）

エクセス64の単精度実数では、符号部１ビット、指数部７ビット、仮数部24ビットで表現されている。各部は次のように定義されている。

符号部は0を正、1を負とする
指数部は16を基数とし、実際の指数に64を足した（ゲタ履き、バイアス）値で表す
仮数部は1以下の2進小数とする

符号部は値の符号を表す。指数部は-16⁶³～-16^-64と16^-64～16⁶³の範囲が表現できる。これを下回ればアンダーフロー、上回ればオーバーフローとなる。

エクセス64で表現するまでの過程

1.5を単精度のエクセス64で表現するには、次のようになる。

1.5×16⁰

仮数部は1以下でなければならないため、値をシフトする。ただし、基数が16で、コンピュータの内部表現は2進数であるため、シフト量は4ビットである（2⁴＝16）。加えて正規化し、その結果は次の通り。

0.09375×16¹

次に指数部をエクセス64で表現する。ただし、負の指数を表すために64をバイアスしなければならない。バイアスを行うと、0～127を表現できる指数が、-64～+63を表現できる指数になる（-64 + 64 = 0、63 + 64 = 127）。よって、今回の例では以下のようになる。

0.09375×16⁶⁵

実際には2進数で表現されているので、2進数に直す。

符号部（1ビット）：+→0
仮数部（24ビット）：0.09375→000110000000000000000000
指数部（7ビット）：65→1000001

浮動小数点数の並び順は符号部指数部仮数部であるため、

2進値：0 1000001 000110000000000000000000、16進値：41180000

浮動小数点数の精度

浮動小数点数は、表現の仕方から、固定小数点数と比べると誤差が生じやすい。浮動小数点数では次のような誤差が生じることがある。

オーバーフロー／アンダーフロー: 演算結果が指数部で表現できる範囲を超える場合があるが、最大値を超えた場合はオーバーフロー、絶対値の最小より小さい場合はアンダーフローという。たとえば、IEEE 754では、指数が2^-129である場合、アンダーフローである。
桁落ち: 絶対値がほぼ等しい数値同士の減算を行った際、正規化の際有効数字が減少すること。詳細は桁落ちを参照。
情報落ち: 浮動小数点数値を加算するとき、指数を揃えなければならない。指数は大きい方に揃えるが、このときに非常に小さな値と非常に大きな値との加算を行うと、大きな値の指数に揃えなければならないため、小さな値は仮数部が大きくシフトされ、仮数部の表現範囲からあふれて情報が欠落してしまう。情報欠落ともいう。詳細は情報落ちを参照。
積み残し: 情報落ちが繰り返し起こる場合を言う。たとえば $\sum_{n=0}^{100} \frac{1}{1.5^n}$ を n=0 の初項から計算しようとすると、ある項から情報落ちが起こり、それ以降の項が無視されてしまうことになる。これを積み残しと呼び、値の小さな項から加算をすることで対処する。
丸め誤差: 浮動小数点数の内部表現は2進数であるため、各ビットの重みは ${1 \over 2}$ 、 ${1 \over 4}$ ...となるが、 ${1 \over 3}$ など、2進数で表せない重みが使われると無限小数となり、途中から切り捨てられるために誤差が出る。たとえば、0.05は2進小数にすると $0.000011001100110011001100\dot{1}10\dot{0}$ ...というように循環小数になる。こういう値は丸め誤差として現れてしまう。この誤差は固定小数点数でも10進数で表現していなければ必ず発生する。
打ち切り誤差: $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$ を計算することを考える。コンピューターは無限回の演算を行うことはできないので、どこかで演算を打ち切る必要があり、したがって真の値（この場合は2）に到達することはない。ここで生じる誤差を打ち切り誤差と呼ぶ。これは原理的な問題であり、浮動小数点数、固定小数点数を問わず、避けようがない。